수학자가 아닌 사람들을 위한 수학

책 소개

서문 “. . . 내 생각에, 아르키메데스나 아폴로니우스처럼 기하학의 난해한 내용을 제대로 이해하고 있는 수준은 아니더라도, 자연을 탐구할 때 그런 내용의 도움을 받을 수 있을 정도면 충분할 듯하다. 또한 굳이 기하학의 가장 심오한 신비를 밝혀내어 그 유용성을 판단할 수 있는 수준에 이를 필요도 없다고 본다. . . . 그래도 기하학의 이론적인 부분을 익혀두었더라면, 한참 젊었을 때 배웠던 소중한 [기호] 대수를 갈고 닦았더라면 하는 아쉬운 마음이 종종 든다. 그 시절 나는 측량과 축성법(築城法)을 배우는 데 대부분의 시간을 보냈으니... 로버트 보일 예나 지금이나 나는 교양 학부 학생들이 듣는 수학 수업은 과학적 의미와 인문적 의미를 함께 전달해야 한다고 확신한다. 본격적인 수학은 별 흥미를 끌지 못하는데다 특히 비전공자 학생들에게는 훨씬 와 닿지 않는다. 하지만 수학이라는 과목도 문화적인 맥락에서 소개하면 이들에게 매우 의미심장한 과목이 된다. 사실, 기본 수학의 여러 분야들은 주로 수학 외적인 필요와 관심에 이바지할 목적으로 생겨났다. 그런 필요를 충족시키려고 노력하는 과정에서, 인간이 자연과 세계는 물론이고 인간 자신을 이해하는 데 수학의 각 분야가 더할 나위 없이 중요함이 입증되었다. 나의 이전 책 『수학: 문화적 접근법』이 호응을 얻은 데서 알 수 있듯이, 많은 교수들은 수학을 서양 문화의 필수적인 일부로서 가르쳐왔다. 매우 감개무량한 일이 아닐 수 없다. 그 책은 앞으로도 계속 구할 수 있을 것이다. 본서는 이전 책의 개정판이자 축약본으로 특정한 부류의 학생들에게 적합하게끔 기획된 것이지만, 원래 판본의 취지는 고스란히 담겨 있다. 역사적 접근법을 고수한 까닭은 그렇게 하면 재미있기도 하거니와 다양한 주제를 자연스럽게 소개하기 쉬우며 책 전체 내용을 일관성 있게 서술할 수 있기 때문이다. 이 책에서는 수학의 각 주제 내지 분야를 인간의 여러 관심사에 대한 한 가지 탐구 유형으로서 제시한다. 또한 기술 발전의 문화적 의미도 소개한다. 내가 고수한 한 가지 원칙을 들자면, 내용의 엄밀성의 수준은 수학 각 분야가 얼마만큼 오래되었느냐보다는 학생들의 수학 이해력이 어느 정도이냐에 맞추었다는 것이다. 이전 책에서와 마찬가지로, 이 책에서도 몇몇 주제를 요즘 유행하는 방식과 꽤 다르게 다룬다. 실수 체계, 논리학 및 집합론이 그렇다. 나는 이 주제들을 전반적인 맥락하에서 그리고 내가 보기에 수학의 기본 교과 과정에 적합한 수준으로 소개한다. 일례로, 다양한 종류의 수 및 그 성질을 관련된 적 상황과 사용 사례를 통해 밝혀낸 후에야 실수에 대한 공리적 접근법을 정식화한다. 논리학은 아리스토텔레스 논리학의 기본 사항들에 국한해서만 다룬다. 그리고 집합론은 특별한 유형의 대수를 설명하는 수단으로서 다룬다. 이 개정판은 특정한 유형의 사람들에 적합하게끔 내용이 수정되었다. 어떤 학생들은 이전 책보다 기초 개념과 기법에 관한 복습 및 연습 문제가 더 많이 필요하다. 기초 수준을 가르칠 준비를 하고 있는 이들은 고등학교 과정에서 다룬 것보다 기초 수학을 더 많이 배울 필요가 있다. 미국의 고등학교 3학년 과정이나 대학 1학년의 한 학기 과정을 가르치는 교사들에게는 『수학: 문화적 접근법』에 담긴 방대한 내용이 조금 당혹스러울 것이다. 왜냐하면 필요한 정도보다 훨씬 더 많은 내용이 실려 있기 때문이다. 이런 유형의 사람들이 필요로 하는 사항들을 고려하여 다음과 같이 개정했다. 1. 문화적 영향만을 전적으로 다룬 네 개 장을 삭제했다. 따라서 원래 책의 크기가 상당히 줄었다. 2. 분량을 줄이기 위해 수학을 과학에 응용한 사례 몇 가지를 뺐다. 3. 전문적인 주제를 다룬 장들, 즉 논리와 수학을 다룬 3장, 수를 다룬 4장, 기초 대수를 다룬 5장 그리고 다양한 연산들 및 그 대수를 다룬 21장의 내용을 추가했다. 4. 몇몇 장들에서는 연습문제를 추가했다. 기법을 익히는 데 도움이 되는 복습 문제들을 각 장에다 추가했다. 5. 여러 부분에 걸쳐 이전보다 향상된 방식으로 내용을 소개했다. 수업 교재로 사용한다면, 아마도 이 책은 이전 책과 마찬가지로 일부 수업에서 다룰 수 있는 내용보다 더 많은 내용이 포함되어 있을 것이다. 하지만 여러 장들 및 그 속의 절들은 논리적 연속성을 이루는 데 필수적이지는 않다. 이런 장과 절에는 별표(?)를 해두었다. 가령, 회화에 관한 내용인 10장은 수학자들이 어떻게 사영기하학(11장)을 내놓게 되었는지를 시대적 흐름을 통해 보여준다. 하지만 논리적 관점에서 보자면 10장은 다음 장을 이해하기 위해 굳이 필요하지는 않다. 음악에 관한 19장은 18장에 나오는 삼각함수를 응용한 사례이지만, 책의 일관성을 위해 꼭 필요하지는 않다. 미적분을 다룬 두 장의 내용은 이후의 장에서는 사용되지 않는다. 학생들이 미적분의 개념을 이해하게 해주는 면에서는 바람직하겠지만, 일부 수업에서는 이 두 장을 건너뛰는 편이 나을 수도 있다. 통계(22장)와 확률(23장)을 다룬 장도 마찬가지다. 유클리드 기하학을 다룬 6장은 여러 절에 걸쳐 도해를 이용한 설명이 많이 나온다. 이 장의 수학 내용은 유클리드 기하학의 기본 개념 및 정리들을 훑어보고 아울러 원뿔곡선을 소개할 목적으로 마련되었다. 익숙한 일부 응용 사례들이 6-3(차례 참고)에 제시되어 있는데, 아마도 이 내용은 꼭 보아야 한다. 하지만 6-4와 6-6에서 소개하는 응용 사례 그리고 문화적 영향에 관한 논의를 다룬 6-7의 내용은 건너뛰어도 좋다. 아래에 나오는 추천 사항에 포함되어 있든 없든 간에 일부 내용은 학생들이 읽어 보면 좋을 것이다. 사실, 첫 번째와 두 번째 장은 학생들이 부담 없이 읽을 수 있도록 의도적으로 서술했다. 여기서 목표는 본질적으로 중요한 개념 소개와 더불어 학생들이 수학책을 읽도록 유도하여, 수학책을 읽을 수 있다는 확신을 줌과 아울러 수학책 읽기를 습관으로 만들기 위함이다. 학생들은 초등학교부터 고등학교까지의 수학 수업을 통해 역사책은 읽을 만하지만 수학책은 본질적으로 공식 암기와 숙제를 위한 참고서라고 여기게 되었다. 그러한 선입견을 깨면 좋을 듯싶어 이 두 장을 포함시켰다. 수 개념 그리고 수 개념을 확장시킨 대수 개념을 강조하는 수업의 경우에는 여러 장들이 논리적으로 서로 별개라는 점을 잘 활용하면 좋을 것이며, 추론과 산수 및 대수에 관해서는 3장에서부터 5장까지 그리고 특수한 유형의 대수에 관해서는 21장을 보면 된다. 이런 주제가 발전하여 함수 분야로 이어지는 과정을 탐구하려면 13장과 15장을 보면 된다. 기하학을 강조하는 수업의 경우에는 각각 유클리드 기하학, 삼각법, 사영기하학, 좌표기하학 그리고 비유클리드 기하학을 다룬 6, 7, 11, 12 및 20장에 초점을 맞추면 된다. 5장에서 살펴보는 일부 대수는 7장과 12장의 내용과 관련이 있다. 5장의 내용을 이미 숙지하고 있지 않다면, 기하학을 다루기 전에 반드시 이 장을 먼저 읽어야 한다. 앞서 말한 두 가지 제안의 요점을 도표로 표시하면 아래와 같다. 3, 4, 5장 대수 기하 21, 13, 15장 6, 7, 11, 12, 20장 물론, 이들 장에 속한 별표가 첨부된 절들은 선택사항이다. 한 학기짜리 교양 학부 수업일 경우라면 기본 내용은 아래와 같을 수 있다. 2장 역사적 동향 3장 논리와 수학 4장과 5장 수 체계 및 기초 대수 6장 6-5절까지, 유클리드 기하학 7장 7-3절까지, 삼각법 12장 좌표기하학 13장 함수 및 함수의 이용 14장 14-4절까지, 매개변수방정식 15장 15-10절까지, 과학에 함수를 이용하는 사례 더 살펴보기 20장 비유클리드 기하학 21장 특수한 대수 내용을 추가하면 수업이 더 풍요로워지겠지만, 강의의 연속성 차원에서 꼭 필요하지는 않을 것이다. 본격적인 수학의 영역 바깥에 있는 내용을 소개하고자 하는 교사들은 이 책을 이용해 강의를 한다면 그간 겪었던 어려움들이 많이 해소될 것이다. 그래도 주저하는 교사들이 있다면, 확신을 갖고서 이 책을 교재로 선택하길 바란다. 뭐라도 한 마디 꺼내려면…

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