작용소대수

책 소개

이 책의 목적은 작용소대수의 정의부터 Fields상의 영예에 빛나는 Connes의 성과까지의 주요한 이론을 많은 부분 포함하게끔, 이해의 용이함을 염두에 두고 집필하였다. 이러한 내 용의 책은 최근에 많이 출판되어 왔으나 대개 난해하고 또한 방대하며 우선 책이 대작들이 많다. 그러므로 이론의 핵심을 이해하는데 지대한 끈기와 노력이 필요하게 된다. 작용소대수 론은 함수해석학의 일부이면서 위상적인 요소, 기하학적인 요소, 대수학적인 요소가 총동원 되어 그 이론으로의 접근을 어렵게 하는 원인을 제공하고 있다고 생각한다. 따라서 이 책에 서는 되도록 알기 쉽게 기술함과 동시에 많은 학생과 연구자가 이 분야에 관심을 가지게 됨 을 목표로 하였다. 다만 아쉬운 것은 최근의 부분인자이론을 여기에 담을 수 없던 것이다. 제1장과 2장에서는 Hilbert공간론을 비롯하여 작용소론과 각종의 대수에 대해 기술하였다. 말할 것도 없이 Hilbert공간론은 작용소대수론의 기초이다. 또한 2장에서 기술한 B(H) 등은 단순히 작용소대수론 뿐만 아니라 일반적인 작용소론을 공부하기 위해서도 참고될 내용이 다. 또 RKHS론은 Gauss과정, 특히 Brown운동의 전개등도 확률론의 중요한 일부가 함수해 석학의 영역에서 논할 수 있다. 제3장에서는 GNS의 표현정리 등 C*-대수의 기본정리들을 논하였다. 제4장에서 이 책의 본론인 von Neumann 대수의 이론을 전개할 수 있다. 여기서는 각종의 위상구조, 조밀정리, 텐서적, 형(type)의 정의 등 가장 기본적인 개념을 도입하게 된다. 제5장에서는 소위 Tomita-Takesaki 이론을 전개한다. 또 von Neumann대수의 접합적을 써서 Takesaki의 쌍대정리를 증명한다. 제6장에서는 비가환적분론으로 칭하여, 소위 가환적 분론의 일반화로써 작용소대수론의 진명목을 발휘한다. 즉 측도에 의한 적분을 작용소대수 위의 선형범함수로 보는 입장이다. 따라서 이에 따른 Radon-Nikodym 정리는 필수적이며, Connes 코싸이클, 완전양사상 등의 관련하에 이론이 전개된다. 제7장에서는 III형 대수의 이론 중 Connes의 III형 von Neumann대수의 분류이론을 상술 하였다. 또한 III형 von Neumann대수의 구조정리에 대해 간단히 기술하였다. 마지막 부록에 서는 중요한 예를 열거하였다. 이상 이 책의 내용을 살펴보았다. 내용을 기술할 때 되도록 우리말로 번역할 수 있는 용 어는 우리말로 표현하였다 (그 대신 영어로 병기하였음). 그것이 수학의 한국화를 위해, 또 이해의 증진을 위해서도 필요하다는 필자의 평소의 의견이다. 따라서 용어는 대한수학회에 서 출판된 용어집을 참고했으며 일부 필자 임의로 만든 경우가 있었음을 밝혀둔다. 또한 이 해를 돕기 위해 몇 가지 연습문제를 배치하였다. 이 책은 필자가 전남대학교에서 강의하면서 최종적으로 완성되었다. 그 당시 표준 텍스트 없이 강의를 하는데 잘 견뎌준 학생에게 감사한다.

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