허수

책 소개

1, 2, 3…. ‘숫자 헤아리기’는 우리들 삶의 일부이다. 우리는 수를 앞에서 셀 수도 있고 거꾸로 셀 수도 있다. 심리학자들의 주장에 따르면 생후 5개월 된 어린아이들도 1+1과 2-1의 차이를 인식할 수 있다고 한다. 명절 연휴가 며칠이나 되는지를 헤아릴 때는 숫자를 더해 나가고, 많은 대상들 중 하나를 강조할 때는 숫자를 빼 나간다. 우리의 선조들은 일상적인 자연수에 0과 음수를 추가하여 수의 영역을 확장해 왔는데, 이런 수들은 익숙해지기 전까지는 한동안 ‘상상 속의 수’로 간주되어 왔다. 이들을 통칭하는 정수(whole numbers)는 다음과 같은 배열로 표현할 수 있다. …, -2, -1, 0, +1, +2, … 정수를 가리킬 때 whole numbers보다는 integers가 더 자주 쓰이는데, 이 말은 ‘완전한, 손대지 않은’을 뜻하는 라틴어 형용사에서 유래했다. 이것은 역으로 정수에 손댈 수 있고, 또 정수를 작은 부분으로 나눌 수 있음을 암시한다. 실제로 정수는 정수로 나눌 수 있으며, 그렇게 하면 분수(fractions)라는 새로운 숫자들이 줄줄이 나타난다. 분수는 표기법에서 알 수 있듯이 비율을 뜻하기도 하고(1/2 = 2/4는 ‘2에 대한 1의 비율은 4에 대한 2의 비율과 같다’는 것을 의미한다), 또는 어떤 행위를 나타내기도 한다(1/2에는 무언가를 ‘반으로 자른다’는 뜻이 담겨 있다). 분수는 십진표기법으로 풀어 쓸 수도 있다(1/2 = 0.5000000…, 이런 수를 소수(小數)라 한다). 소수점의 오른쪽에 나열된 숫자가 많을수록 수의 정확도는 증가한다. 수학에서는 소수점 아래의 숫자가 무한히 많은 수들이 시도 때도 없이 등장한다. 정수이건 분수이건 간에, 모든 수는 무한히 긴 소수로 나타낼 수 있으며, 그런 수를 실수(real numbers)라 부른다. 실수의 실(實, real)은 두 가지를 알려준다. 첫째, 실수는 우리에게 실제적인 수이다. 둘째, 어딘가에는 비현실적인 수도 있다. 이런 비현실적인 수를 허수(虛數, imaginary numbers)라 한다. Imaginary numbers는 매우 적절한 용어인데, 허수를 우리가 선반의 길이를 측정할 때 이용하는 실수만큼 실제적인 수로 만들려면 상상력을 동원해야 하기 때문이다. 이 책은 내 친구인 미첼 차오울리(Michel Chaouli)에게 보내는 편지에서 시작되었다. 우리는 사람들이 상상력의 작용을 정말로 ‘느낄’ 수 있는지를 줄곧 생각해 왔다. 그러던 어느 날 미첼은 “허수를 상상하고 싶다”고 말했다. 그날 저녁에 나는 우리가 나누었던 대화의 분위기에 젖어 허수의 기본 개념을 설명하는 글을 써 내려가기 시작했다. 내 편지는 음수의 제곱근을 상상하는 것이 무슨 의미인지를 내게 물어 온 많은 친구들에게 미처 다하지 못한 대답을 대신하는 글이었다. 그들의 질문, 논평, 비판, 그리고 통찰력 덕분에 나의 편지는 점점 나아지고 확장되었다. 그러므로 이 책은 수학과 관련된 훈련을 받은 적 없고, 고등학교를 졸업한 이후로 수학에 관해 거의 생각하지 않고 살아 왔지만, 수학적 상상력을 경험해 보고 싶고, 그러한 경험을 시구(詩句)를 읽고 이해하는 데 쓰이는 상상력과 비교해 보고자 하는 독자들을 위해 쓰였다고 할 수 있다. 이 책을 읽는 데 특별한 수학지식은 필요하지 않지만, 읽는 도중 몇 가지 계산을 위해 종이와 필기구 정도는 준비해 둘 것을 권한다(대부분 간단한 곱셈 정도의 계산이다). 우리는 앞으로 곱셈연산을 살펴볼 것이다. 곱셈을 표기하는 표준적인 방법은 세 가지가 있다. 곱하기 기호(×)를 사용하거나 가운뎃점(*)을 찍어도 되고, 혼돈의 여지가 없는 경우에는 곱하는 대상들을 그냥 일렬로 나열하기도 한다(a×b×c = abc). 앞으로 우리가 사용할 표기법은 강조하고자 하는 대상을 반영한다. 2 × 3 = 6 은 2에 3을 곱하는 행위를 강조하는 의미이고 2*3 = 6 은 연산 결과를 강조하는 표기법이다. 이렇게 기호에 따라 뉘앙스는 조금씩 다르지만, 2×3 = 6과 2*3 = 6은 수학적으로 완전히 동일한 연산이다. 미지수 X를 다룰 때 ‘X의 5배’를 표현하는 방법도 다음과 같이 세 가지가 있다. 5×X = 5*X = 5X 이 경우에도 5×X는 곱하는 행위를 강조하는 표기이고 5*X와 5X는 연산 결과를 강조하는 표기법이다. 간결하게 표기할 필요가 있을 때에는 5X와 같이 그냥 나열하는 표기법을 사용한다. 본문에는 각주와 후주가 달려 있는데, 후주는 본문의 내용을 더욱 자세하게 풀어 쓴 부가설명으로 이 내용을 이해하려면 약간의 수학적 지식이 필요하다.

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