책 소개
음수의 제곱근 개념은 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론이 피라미드 절단의 부피를 계산할 때 최초로 나타났다. 16세기 이탈리아의 수학자 타르탈리아와 제롤라모 카르다노는 삼차 및 사차 다항방정식의 근을 구하는 공식을 발견하면서 음수의 제곱근 개념을 보다 명확히 설명하였다. 당시 수학자들은 공식에서 실수해만을 찾으려 하였으나, 음수의 제곱근을 다루어야 하는 상황을 자주 맞닥뜨리게 되었다. 음수에 대한 이해가 부족했던 그 시기에는 복소수가 정식으로 수로 인정받지 못했다. 17세기에는 르네 데카르트가 "허수"라는 용어를 처음 사용하였다. 18세기에는 아브라함 드무아브르와 레온하르트 오일러가 복소수에 대해 중요한 업적을 남겼다. 드무아브르는 유명한 드무아브르의 공식을 통해 복소수의 중요성을 부각시켰고, 오일러는 복소해석학에서 오일러의 공식을 통해 복소수의 활용을 증명하였다. 1799년에 이르러 카스파르 베셀이 복소수를 기하적으로 표현함으로써 비로소 복소수의 존재가 완전히 받아들여졌다. 이 개념은 수년 후 카를 프리드리히 가우스에 의해 널리 알려져, 결국 복소수가 중요한 수학적 확장으로 인정받게 되었다. 사실, 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스의 저서 에서도 이미 나타나 있었다. 이러한 점에서 복소수를 기반으로 하는 함수의 해석적 접근은 쉽지 않으며 학습의 기초가 탄탄하기 않으면 포기하기 쉽다. 또한, 복소함수에서는 실함수와 유사한 해석적인 접근이 불가능한 경우가 많으며 이러한 부분은 학습의 장애요인이 될 수 있다. 하지만, 학교수학에서도 일정부분 학습할 내용이 존재하고 중등교원 임용시험에서도 최근 경향상 2~3문제가 출제 되는 등 시험 등을 준비하는 예비교사의 입장에서도 반드시 학습해야 할 내용이다. 일반적으로 시중의 복소함수론이나 복소해석학 책은 그 내용이 방대하고 기초가 있지 않은 학습자가 접근하기가 쉽지 않다. 또한, 학부 수준에서는 다소 불필요한 내용으로 구성이 되어 교재로 활용하였을 경우 충분한 학습을 하지 않은 경우 기본 내용의 이해조차 불가능 할 수 있다. 따라서 본 교재에서는 다음과 같이 다섯 가지 복소함수 기본적인 내용 구성을 중심으로 제작되었다. 첫째, 기본적인 복소수 계산을 연습할 수 있는 구성 둘째, 변환의 개념을 충분히 이해할 수 있는 구성 셋째, 복소 함수의 해석성을 충분히 이해할 수 있는 구성 네 번째, 해석함수가 아닌 경우 특이점을 이해할 수 있는 구성 다섯 번째, 복소 선적분을 이해할 수 있는 구성 이 책은 사범대학에서 기본으로 학습해야 할 내용을 기반으로 아주 쉽게 이해할 수 있는 것을 목적으로 쓰여진 책이다. 본 책을 충실히 학습 한 후 시중의 책이나 이후 발간된 책을 학습 한다면 보다 쉽게 접근할 수 있을 것이다. 부디 본 교재로 복소함수를 이해하는데 도움이 되었으면 한다.
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1. 복소수의 기초 1.1 복소수 체계 2 1.2 극좌표, 오일러 형식 그리고 근 7 1.3 복소수의 점열 12 2. 복소 변환 2.1 입체사영 14 2.2 기초변환 16 2.3 선형분수변환 18 2.4 등각사상 20 3. 복소함수 3.1 지수함수와 삼각함수 24 3.2 로그함수 26 3.3 거듭제곱함수, 다항함수 그리고 제곱근 함수 28 4. 해석함수 4.1 멱급수 30 4.2 극한과 연속성 35 4.3 미분가능성과 Cauchy-Riemann 방정식 37 4.4 조화함수 40 4.5 해석함수와 정함수 42 4. 급수 4.1 멱급수와 Laurent 급수 50 4.2 특이점의 분류 60 4.3 유수정리 70 5. 복소적분 5.1 복소선적분 80 5.2 Green의 정리 84 5.3 복소선적분과 실이상적분 87 6. 복소선적분 응용 6.1 Cauchy의 적분공식 95 6.2 정함수와 대수학의 기본정리 99 6.3 평균값정리와 최대절대값정리 102 6.4 편각원리와 Rouche의 정리 105 연습문제 풀이 110 참고문헌 130 찾아보기 133
출처: 국립중앙도서관 서지정보
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