로스의 해석학원론

책 소개

이 ≪해석학 원론≫은 케니스 로스(Kenneth Ross)의 ≪Elementary Analysis≫ 제2판을 옮긴 것이다. 부제는 미적분학 이론(The Theory of Calculus)이다. 고등학교와 대학 교양 과정의 미적분학에서 제대로 증명하지 않고 제시된 여러 가지 계산 방법과 주요한 정리들의 기저를 이루는 이론을 제공한다. 이에 따라 이 책은 대학의 수학과, 수학교육학과, 응용수학과 따위에서 통상 전공 필수 과목으로 개설하는 과목 ‘해석학’ 또는 ‘해석개론’을 위한 교재 이며, 통상 ‘실 해석학 개론’이라는 이름을 가진 책과 같은 수준이다. 지은이 머리말에서 밝힌 대로, 이 책은 초판이 발행되고 30년 이상 이런 과목의 성공적인 교재로 널리 사용됐는데, 제2판은 초판을 보완해서 교재로서의 완성도를 높이고 교육적으로 더 큰 효과를 꾀하고 있다.이 책은 기존의 실 해석학 교재들과 구별되는 점이 많이 있다. 우선, 주요 개념을 통상적 이지 않은 방법으로 도입하고 전개하기도 한다. 볼차노⋅바이어슈트라스의 정리의 증명은 수열을 이용하고 실수 전체의 집합 ℝ의 닫힌 부분집합도 수열을 이용해서 정의함으로써, ℝ에서 추상적인 위상 개념의 도입을 피하고 있다.이 책에서는 새로운 이론을 도입해서 전개하기도 한다. 리만⋅스틸체스 적분에서는 어느 책에서도 볼 수 없는 정의를 도입해서, 훨씬 더 일반적인 이론을 전개한다. 그러면서도 자연 스러운 결과를 얻는다. 지은이는 자신과 다른 이들의 최신 연구 결과를 적극적으로 활용해서실 해석학 교육에 새로운 표준을 제시하려고 시도하는 것으로 보인다.특히, 이 책에서는 의미 있는 학습을 강조하는 것으로 보인다. 새로운 개념을 도입할 때는 충실한 사전 설명을 통해 확실하게 동기를 부여하고 있다. 제시할 정리의 의미와 중요성을 미리 언급하고 그런 정리를 얻게 된 과정을 미리 설명하기도 한다. 학습한 결과의 활용도 빠짐없이 제시하고 있다.심화 학습을 위한 주제들도 *로 표시한 절에서 다루고 있다. 이를테면 거리 공간이 주제인세 개의 이런 심화 절이 있는데, 거리 공간에서의 위상 개념들도 충실하게 소개하고 있다. 이런 내용은 그 뒤에 나오는 주제들을 심도 있게 학습하는 데 도움을 줄 수 있고, 수학의 다른 분야도 통합적으로 이해할 수 있도록 한다.이렇듯이 이 책에서는 해석학의 많은 주제와 내용을 다루고 있지만, 분량은 많지 않은 편이다. 지은이 머리말에서 밝혔듯이, 이 책의 앞쪽에서는 증명을 매우 자세하게 제시하지만, 뒤쪽으로 갈수록 증명이 간략해지기도 하고 생략하기도 한다. 통상 정리로 제시하는 결과를 익힘 문제로 넘기는 경우도 많이 있다. 이에 따라 해석학을 처음 배우는 초심자가 이 책의 모든 내용을 완전히 학습하기가 부담스러울 수 있다. 이런 경우에는 주어진 결과들을 받아들 이고 그 내용을 숙지하는 데 초점을 맞추는 것이 좋을 것으로 보인다. 해석학의 다른 과목들과 위상 수학을 배운 뒤에는, 이 책이 해석학을 전체적으로 조망하고 정리하기에 더없이 좋은 학습 도구가 될 것으로 보인다.

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