책 소개
본서를 읽고 있는 독자는 고전통계학 (classical statistics) 이나 베이지안통계학 (Bayesian statistics)에 대한 지식이 조금은 있으리라 생각한다. 특히 고전통계학을 어느 정도 알고 있으리라 생각한다. 고전통계학이 본서에서 다루는 베이지안통계학과 근본적으로 다른 이유는 확률을 보는 관점의 차이에서 시작된다. 옛날부터 인간은 확률에 관심이 많았다. 그 주된 이유는 도박이 확률과 밀접한 관계가 있기 때문이다. 문헌에 의하면 그리스시대 올림픽의 어떤 경기에서는 도박금액이 몇 백만불에 이르기도 했다고 한다. 또한 고대 중국에서 도박이 성행했다는 것은 널리 알려진 이야기이다. 도박에서 이기는 비율을 계산하는 과정에서 초기 확률이론의 체계가 잡혔다. Luca Paccioli는 1494년 그의 저서 Summa de Arithmetica,Ggeometrica, Proportioni et Proportionalitȧ에서 problem of points(또는 division of the stakes)라는 확률문제를 제시했고, 200년이 지난 17세기 Blaise Pascal이 Pierre de Fermat에 보낸 편지에서 해답을 제시했다. 이 과정에서 확률이론이 발전되기 시작했다. 확률을 보는 관점에 따라, 확률에 관한 이론을 고전이론 (classical theory), 상대빈도론 (relative frequency theory), 주관론 (subjective theory, subjectivity theory) 등으로 나눌 수 있다. 첫째, 고전이론에서는 동일한 가능성을 지닌 모든 경우(event)들의 개수(number of all equipossible cases) N 에 대한 원하는 경우의 개수 (number of favorable cases) M의 이론적(theoretical) 비율 (ratio) 로 확률을 정의한다. 여기서 유의할 점은 N 이나 M 은 실험에서 사용된 샘플의 개수나 실험에서 선택된 샘플의 개수가 아니라 사건의 개수라는 것이다. 둘째, 상대빈도론에서는 확률을 실제 세계에서 발생하는 사건들 사이의 경험적 비율(empirical rate)이라고 설명한다. 즉, 확률을 주어진 모집단 (population) 에서 어떤 사건이 발생할 실제 상대빈도로 정의한다. 예를 들어, n번 주사위를 던져서 m번 눈 ‘1’이 나오면 눈 ‘1’이 나올 확률은 m/n이다. 물론, 사건이 발생하는 환경이 적당하다면, 대수법칙(law of the large numbers)에 의해서 상대빈도 m/n은 고전이론적 확률 M/N 으로 수렴할 것이다. 셋째, 관론에서 확률은 각 개인이 특정한 순간에 주어진 사건에 대해서 갖는 믿음의 정도 (degree of belief)를 나타낸다. 수리경제학자이기도 했던 1931년 Frank P. Ramsey[82]는 John Maynard Keynes가 그의 저서 Treatise on Probability[58]에서 강조한 확률의 객관성에 대해서 비판했다. Ramsey는Keynes가 논리학(logics)에서 확률과 물리학(physics)에서 확률에는 차이가 있음을 간과하고 있다고 주장했다. Ramsey는 확률은 믿음의 정도라고 주장하며, 그 믿음의 정도를 어떻게 비교하고 측정할 수 있는가를 설명하고자 했다. 안타깝게도 27세에 요절한 천재 Ramsey 뒤를 이어 Bruno de Finetti와 Leonard J. Savage 등에 의해서 주관적 확률론이 발전하였다. 주관적 확률론자들은 객관적 확률이란 존재하지 않으며, 확률은 개인적이며 주관적 믿음을 나타내는 정도라고 주장한다. 본서에서 다루는 베이지안통계학은 주관적 확률을 바탕으로 구축된 학문이다. 즉, 주관적 확률로서 다양한 모형들의 타당성을 나타내고, 이 확률을 가중치로 해서 관찰값들이 나타내는 평균모형을 구한다. 이 평균모형을 실증분석과 의사결정에 이용함으로써, 모형이 가지고 있는 불확실성을 축소하려는 것이 베이지안통계분석의 목표이다. 본저자는 데이터가 넘쳐나는 오늘날에는 고전적 통계학을 적용할 수 있는 모형들은 한계가 있고, 그들을 이용해서 하는 통계적 추론도 실용적이지 못하다고 생각한다. 어떤 이론의 전개과정이 수리적으로 정교하다고해도 그 이론에서 전제하는 가정이 현실적이지 못한 경우에는 그 분석결과를 믿을 수 없는 것이 당연하다. 따라서 본저자는 베이지안통계학이 고전통계학의 영역을 잠식해 들어가는 것은 필연적 결과라고 생각한다. 실제로 베이지안통계학이 얼마나 우리 생활 깊숙이 깊숙이 들어왔나를 알고 싶으면, 다음 책들을 읽어볼 것을 권한다. McGrayne, S.B. (2012) The Theory That Would Not Die: How Bayes’ Rule Cracked the Enigma Code, Hunted Down Russian Submarines, and Emerged Triumphant From Two Centuries of Controversy, Yale University Press. Silver, N. (2012) The Signal and the Noise: Why So Many Predictions Fail-But Some Don’t, Penguin Press. 베이지안통계학은 우리가 사용할 수 있는 모형의 다양성을 제공한다. 컴퓨터과ꠑ 공학이 급격하게 발전하는 오늘날에는 과거에는 다룰 수 없었던 모형을 다룰 수 있게 한다. 즉, 컴퓨터과ꠑ 공학의 발전은 베이지안통계학에서 제공하는 모형의 다양성을 실제로 즐기는 것이 가능한 환경을 만들고 있다. 본서에서는 이러한 추세를 반영해서 재무학과 경제학을 위한 베이지안통계기법들을 설명한다. 본서는 계량경제학에서 베이지안통계학의 위치, 베이지안 통계학의 수리적 배경, 베이지안통계모형, MCMC법 (Markov Chain Monte Carlo method)을 이해하는데 필요한 Markov체인이론, Gibbs샘플러, 그리고 Metropolis-Hastings법으로 구성되어 있다. 본서를 만드는 데 많은 사람들의 도움이 있었다. 우선 교정을 보아준 부경대학교 이성백교수, 김원세박사, 김찬수군, 백승헌군에게 감사한다. 또한 2017년도 2학기 수리금융경제학특수연구를 수강하면서 교정에 참여해준 학생들에게 감사한다. 본서는 LATEX으로 작성한 것으로, 김찬수군이 제2.5절의 표들을 LATEX으로 입력해주었고, 또한 LATEX스타일파일과 표지를 만들었다. 다시 한번 김찬수군에게 감사한다. 마지막으로 본서를 출간을 허락해주신 서울대학교 금융경제연구원 김영식원장님께 감사드리며, 출판과정에서 실무를 도와준 김남재군에게 고마움을 표한다.
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제 1 장 베이지안통계학과 계량경제학 1 제1.1절 베이지안통계분석이란 무엇인가? . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 제1.2절 Bayes정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Bayes정리와 사후확률분포 . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 유용한 확률분포들 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 제1.3절 다변량정규확률분포 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.1 적률모함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3.2 정규확률벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.3 조건부확률밀도함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 제1.4절 Wishart확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.4.1 Wishart확률분포의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.4.2 역Wishart확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.4.3 표본확률분포 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.4.4 최우추정량 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.4.5 신뢰구간 . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.4.6 손실함수와 위험함수 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1.4.7 미니맥스결정과정 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.4.8 James-Stein추정벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.4.9 Hotelling T2 통계량 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 제1.5절 교환가능성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 제 2 장 베이지안통계학의 기초 89 제2.1절 리스크분석과 베이지안통계학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.1.1 조건부리스크가치 CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 89 2.1.2 CVaR의 평가 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 92 제2.2절 신용리스크의 베이지안통계분석 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.2.1 파산확률과 선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 103 2.2.2 파산확률의 베이지안추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 109 제2.3절 정규확률분포와 베이지안통계학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.3.1 정규확률분포의 평균 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.3.2 정규확률분포의 분산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.3.3 정규확률분포의 평균과 분산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 제2.4절 다변량정규확률분포와 베이지안통계학 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.4.1 다변량정규확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.4.2 다변량정규확률분포의 평균벡터 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.4.3 다변량정규확률분포의 분산공분산행렬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2.4.4 다변량정규확률분포의 평균벡터과 분산공분산행렬 . . . . . . . . . . . . 143 제2.5절 사전확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.5.1 공액사전확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 2.5.2 무정보사전확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.5.3 조건부공액 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 제2.6절 사후확률분포와 통계적 추론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 2.6.1 사후주변확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 2.6.2 점추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 2.6.3 구간추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 183 2.6.4 가설검정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.6.5 예측 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 제 3 장 베이지안통계모형들 189 제3.1절 선형모형의 베이지안통계분석 . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 제3.2절 계층모형과 베이지안통계분석 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 제3.3절 다변량선형회귀모형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3.3.1 고전적 통계추론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 3.3.2 베이지안 통계추론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 제 4 장 Markov체인 285 제4.1절 베이지안분석과 Markov체인 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…
출처: 국립중앙도서관 서지정보
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